“这两个公式，很像。”

丹娜意识到了一些问题，但却没办法得出结论。

没有等待她们仔细思考，莱纳又开始推导双曲线的极坐标方程。

双曲线是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于两个点之间距离的点的集合，莱纳已经推导了抛物线和椭圆的极坐标方程，因此很快就得到了双曲线的极坐标方程。

r=e（1-esθ）。

这三个方程的形式惊人地一致，让克莱尔与丹娜惊讶得说不出话。

“实际上，我们可以假设抛物线也存在一个e，只不过这个e的值是1，而焦点与长短轴的长度也能统一，这样来看，椭圆，双曲线，抛物线实际上可以用同一个极坐标方程表示，而决定它们不同的便是这个e，我定义其为离心率。”

看着黑板上三个迥然不同的曲线与一大串推导公式，莱纳说道。

“当离心率小于1，那么便是双曲线，当离心率大于1，则是椭圆，而当离心率等于1，便是抛物线，当离心率等于0，那么这便是一个正圆。”

他的结论看似难以接受，但一步步的推导过程却又是如此明晰，克莱尔与丹娜挑不出任何毛病。

“由此，我们可以证明这几种曲线其实是同一种曲线在不同情况下的变化，同时给这几种曲线下一个更加精简且统一的定义：平面上，与一个定点的距离与一条定直线的距离的比值为常数的点的集合，这个常数便是离心率e！”

放下粉笔，莱纳轻声说道。

“证明完毕。”

已故的法则系高阶法师安德尔卢瓦尔对抛物线的定义是平面上到一个定点的距离等于到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹，而那个定点便是抛物线的焦点，那一条定直线就是抛物线的准线。

“这条抛物线的准线方程是y=-p2，焦点则是，引入极坐标，可以得到x=rsθ，y=rsθ+p2。”

莱纳在黑板上流畅地书写着，他之前已经自己推导过一遍，因此现在只不过是复述而已。

“那么，这个抛物线上的点a到准线的距离就是rsθ+p，到焦点的距离就是r，根据定义，这两者应当是相同的，即为r=rsθ+p，稍微化简一下，以θ为自变量，就能得到一个表达式r=p（1-sθ）。”

计算式子在黑板上不断被书写，犹如一条条神秘的咒语，指引着一个奇妙的世界。

“将其带入原始的函数方程，很容易就能看出这两者是等价的，不过是同一个抛物线在不同坐标系下的不同数学表达而已。”

而很明显，极坐标的函数方程十分简洁，即便是丹娜，也能很快算出其中的值。

莱纳在查阅这个世界的数学资料时，发现出人意料的，这里的数学发展比起其他方面的发展要落后许多，虽然各种曲线方程，三角函数的发展已经很快，大部分数学概念已经被确定下来，但涉及到微积分与数论方面的知识却鲜少有人讨论，至于虚数的领域更是尚不存在。

法则系的传奇法师伊萨里斯艾伯顿阁下是微积分的创始者，但他最开始不过是为了用来描述自己的运动三大定律，完全没有想到将其发扬光大。

微积分的普及还是在数年之后，刚刚成为高阶法师的艾伯顿阁下所在的学校面临经费危机，他才想到将微积分作为法则系学生的必修课，当年学校的重修费收入便提高了百分之五百以上，顺利度过了危机，而微积分也开始成为中高阶法师们构筑法术模型时候的参考。

究其原因，莱纳认为有两点。

第一点，这毕竟是一个魔法的世界，古代法师们在没有任何数学理论的基础上照样发展出了灿烂辉煌的文明，对于绝大多数法师而言，经验直觉远比计算来得方便，而越是高阶法师，这一点体现得越明显。

用一个简单的例子来说明便是测量一个不规则桶的容积，人们既可以选择将其分解，不断积分得到最终答案，也可以选择直接用魔力灌满，得到答案，而后者显然简单粗暴得多。

高阶法师们就像是拥有强大计算力的机器，哪怕只用单纯的穷举法也能完成绝大多数法术模型的计算。

数学在这个世界归根结底还只不过是捷径，而强者不需要捷径，弱者的学识又不足以找到新的捷径，因此这个学科的发展一直没有人推动。